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スポットレート

スポットレート
3年スポット・レートをとすると、以下のように求められます。

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金利の期間構造の基礎

スポット・レートは、各キャッシュ・フローが発生するまでの期間に対応する利率であることから、スポット・レートとキャッシュ・フロー発生までの期間には何かしらの関係があると考えられます。一般的に金利と期間には何かしらの関係があり、この金利と期間との関係(構造)を、 金利の期間構造(term structure of interest rates) といいます。実務的には、英語を用いて、ターム・ストラクチャーと言葉がよく用いられます。

イールド・カーブは、金利と期間との関係をプロットしたものです。このため、対象にする「金利」には、スポット・レートだったり、最終利回りだったり、様々な「金利」が入る可能性があります。特に、スポット・レートと期間との関係を表すイールド・カーブを、 スポット・レート・カーブ(spot rate curve) といいます。

理論的に考えれば、各日を満期日とする割引債が1つ存在し、その割引率によってスポット・レートを求めれば、イールド・カーブを生成することができます。しかし、 実際問題として、 各日を満期日とする割引債が存在するわけではありませんし、同じ期限の割引債が存在することもあります。取引量が大量・安定的でなければ価格そのものに歪みが生じる可能性もあります。このため、 イールド・カーブを生成する場合、生成者(ないしバリュエーション実施者)が何かしらの方法を選択・決定し、イールド・カーブを生成する必要 があります。実際、銀行をはじめとする金融機関は、それぞれにイールド・カーブの生成方法を決定しており、それに従ってバリュエーションが行われています。

(A) ブートストラップ法(bootstrap method)

ブートストラップ法は、各年限の 固定利付債 を用いて、順次計算していく方法になります。ブートストラップ法は、1年のスポット・レートから求めていき、順次、各年限のスポット・レートを求めていくという方法です。

(i) スポットレート 1年スポット・レートの算定

スポット・レートをとすると、以下のように求められます。

(ii) 2年スポット・レートの算定

2年スポット・レートをとすると、以下のように求められます。

(iii) 3年スポット・レートの算定

3年スポット・レートをとすると、以下のように求められます。

上記のように、ブートストラップ法を用いると各年限のスポット・レートを求めることができます。しかし、ブートストラップ法で求めた値と実際のその年限の割引債で求められるスポット・レートに誤差が生じている可能性があります。ブートストラップ法は、次の年限のスポット・レートを求めるために、誤差のあるその数値を利用して求めるため、次の年限のスポット・レートへと誤差が蓄積されていきます。この結果、 長い年限になると、大きな誤差となってイールドが作成される可能性 があります。

(B) スプライン関数法

(C) 固定利付債の最終利回り

(D) スワップ・レート(及びLIBOR)

なお、スワップ・レートは、1年以降の金利があるにすぎないので、1年未満のレートについては、 LIBOR(London Inter Bank Offered Rate;ロンドン銀行間取引金利) を用いることが多いです。また、TIBOR(Tokyo Inter Bank Offered Rate; 東京銀行間取引金利)を採用する場合も考えられます。

3-2.補間方法について

実務的には、イールド・カーブの生成のための補間では、3次のスプライン補間が利用されることが多いように思われます。3次スプライン補間は、観察点と観察点で1区分として補間していきます。スプライン関数は、ノット・ポイント(前区分と次区分がつながる点)で、「滑らかに連続する」ことが条件とされています。「滑らかに連続」とは、数学的厳密性に追求しなければ、前区分と次区分の1次導関数及び2次導関数が一致することを意味しています(3次関数なので)。つまり、ノット・ポイントで「 単純に 連続」しているのではないということです。

また、上記の滑らかに連続するための条件と合わせて、最初の区分の出発点と最後の区分の終着点における両端の点(境界点)における2次導関数がゼロと仮定する 自然スプライン を用いて計算されるのが多いかと思われます。境界部分はその後に点がないため、境界点の条件が必要になるのです。

3-2.フォワード・レートとパー・イールド

(A) フォワード・レートとは

スポット・レートが求められると、 フォワード・レート(forward rate) を求めることができます。 フォワード・レートとは、将来の特定期間に適用される金利 のことです。

(スポットレート B) パー・イールドとスワップ・レート

パー・イールド(per yeild) とは、パー債券の最終利回りのことです。パー債券とは、債券価格が額面と等しいことをいいます。つまり、クーポン・レートと最終利回りが等しくなる場合に、パー債券となります。

しかし、 デリバティブ取引であるスワップ市場が成熟している現在では、金利スワップ市場からパー・イールドを把握することができます

金利スワップ取引とは、変動金利と固定金利を交換(swap)する取引です(デリバティブ取引については後述)。金利スワップは、変動利付債と固定利付債の交換とも言えます。変動利付債は債券価格は常に額面金額であるため、それと等価交換される固定利付債も額面金額となり、パー債券となります。つまり、変動金利の交換対象である固定金利は固定利付債のクーポン・レートであり、固定利付債がパー債券であるということは、この交換対象であるクーポン・レート=パー・イールドに他ならないのです。このため、現実の債券市場では把握が難しいパー・イールドがスワップ市場において観察することができるのです。このスワップ市場で観察されるレートが、 スワップ・レート(swap rate) です。

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